1. $\frac{1}{x} = x^-1$의 그래프 개형
[그림] $\frac{1}{x}$ 함수 그래프
- 우선 $\frac{1}{x}$ 그래프가 왜 위와 같이 생겼는지 부터 알아보자.
- 아래 영상을 보면 알 수 있듯이 $\frac{1}{x}$의 그래프는 x가 2배 커지면 y는 2배 작아지는 성격을 가지고 있다.
- 때문에, x가 커지면 y는 작아지고, x가 작아지면 y는 커지는 성격을 가지고 있기 때문에 이런 개형을 갖는다.
- 저기에 물이 저 만큼 고여있다고 생각해보자. 물의 양이 항상 일정하다면 (xy=1이기 때문에 일정)
- 넓이가 넓어지면 높이는 낮아지고, 넓이가 좁아지면 높이는 높아진다. (색깔도 파란색이라 이해하기 쉽다)
[그림] 왜 저런 모양일까?
2. $\frac{1}{x}$ 미분하기
[그림] $\frac{1}{x}$의 도함수
- 사실 $\frac{1}{x}$은 $x^{-1}$이기 때문에 그냥 $nx^{n-1}$을 이용해서 $-1x^{-2}$라고 계산해도 무방하다.
- 그러나 왜 이렇게 되는지 기하학적으로 한번 분석해보자. 우선, $\frac{1}{x}$의 경우에는 x가 커질 때
- y도 같이 커지는 게 아니라 x가 커지면, 되려 y는 작아져서 넓이에 대한 loss(손실)가 생기게 된다.
- 그러나 x만큼 넓어지면 x만큼 낮아지고, x만큼 좁아지면 x만큼 높아지기 때문에, 사각형의 넓이는 항상
- 같다는 성질이 있다는 것을 위에서 확인했다. 이를 도함수 계산에 활용해보자.
- 획득 부분의 가로(x)를 $dx$라고 하면, 세로(y)는 $\frac{1}{x}$이기 때문에 넓어진 너비는 $\frac{dx}{x}$이고,
- 손실 부분의 세로(y)를 $-df$라고 하면 가로(x)는 $x$이기 때문에 좁아진 높이는 $-x \times df$이다.
- 넓이가 항상 동일하기 때문에 이 두 부분의 넓이는 같아야하고, $\frac{dx}{x} = -x \times df$이다.
- 양변에 $x$를 곱해서 좌변의 분모를 떼어내면 $dx = -x^2df$가 된다.
- 이 식에서 양변을 $df$로 나눠주면, $\frac{dx}{df} \ -x^2$이 되고, 이 식을 invert시키면 $\frac{df}{dx} = \frac{1}{-x^2}$가 된다.
3. $\sqrt{x}$ 미분하기
[그림판] $y=\sqrt{x}$는 $y=x^2$의 역함수
- $y = \sqrt{x}$의 미분은 간단하다. 우리는 이미 $y = x^2$을 계산해봤기 때문에 동일한 방법으로 수행하면 된다.
- y를 x와 같은 독립변수라고 생각하면, 간단하게 풀 수 있다. x와 y만 바꿔서 똑같이 풀고, 마지막에만 바꾸면 끝
[그림] $\sqrt(x)$의 도함수
4. Reference