- 미적분학에는 외워야하는 많은 규칙들과 공식들이 있다
- 많은 미분공식, 곱의 미분법, 연쇄법칙, 음함수 미분법, 그리고 뜬금없는 테일러 급수
- 우리는 이 개념들이 실제로 어디에서 도출되었고, 진짜 의미하는 바가 무엇인지 공부해본다
0. 원의 면적을 사전지식 없이 구해보자
- 원의 넓이는 우리가 잘 알다시피 $pi \times r^2$이다. (Pi times Radius Square라고 읽자)
- 근데 이걸 외울게 아니라, 왜 그럴까라는걸 고민해보는게 공부의 참된 자세이다.
- 반지름이 3인 원을 떠올려보자. 우리는 이 원의 넓이를 구해야한다
- 원의 넓이를 바로 구할 수는 없기 때문에 쪼개서 구하는 방법을 생각할 것이다.
1. 원을 어떻게 잘라야할까?
[그림] 원을 어떻게 자를까
- 여러가지 방법으로 원을 자르는 모양을 생각해 볼 수 있다
- 결론적으로 우리는 가장 오른쪽과 같이 여러개의 동심원으로 잘라내는 방법을 고안할 수 있다.
- 왜냐면, 이렇게 자르면 각각의 동심원을 하나의 띠처럼 펴서 생각할 수 있고
- 그 넓이는 평행사변형이기 때문에 넓이를 구하기 용이하기 때문이다 (원호의 넓이보다 구하기 쉽다)
2. 각각의 링의 넓이를 어떻게 구할까?
- 만일 우리가 이처럼 각각 링의 넓이를 구하고, 이 넓이를 모두 더한다면 최종적으로 원의 넓이를 알 수 있다
- 링 하나를 잘라서 길게 펴면 평행사변형이 된다만, 그냥 아랫변과 윗변의 길이를 같다고 놓고 생각해보자.
- 그냥 Approximation하는 것이다. 왜냐면, 일일이 생각하기에 골치아프다. (평행사변형보단 직사각형이 쉽다)
- 그리고, 이 띠의 두께(dr)를 줄이면 줄일수록 결국에 윗변과 아랫변의 길이는 거의 동일해지기 때문이다.
- 윗변의 길이는 원의 정의에 의해 2Pi * r이고, 두께는 잘 모르기때문에 dr이라는 가상의 이름을 붙이자
- (dr은 Difference of Radius의 약자이다. 미적분에서 이 d라는 말이 자주나오는데 difference라는 뜻이다)
- 윗변=아랫변으로 생각하기로 했기 때문에, 띠의 넓이는 2Pi * r * dr이 되고, 하나의 작은 직사각형이 된다.
3. 어떻게 작은 직사각형들을 더할까?
[그림] 작은 사각형들을 어떻게 더할까?
- 이제 동심원들의 넓이를 하나하나 더하면 된다. 그런데 어떻게 더해야할까?
- 우리는 오른쪽의 수직선을 생각할 수 있다. 그리고 거기에 동심원들을 펴서 놓으면 삼각형의 형태가 된다.
- 각 사각형의 가로 길이는 dr, 높이는 2Pi * r이고, 삼각형의 전체 가로길이는 3(반지름)이다. 그러나,
- 완벽한 삼각형은 아니다. 왜냐하면 2Pi * r의 직선과 직사각형 사이의 검정색 빈공간이 오차를 만들 것이다.
4. 오차를 어떻게 하면 줄일 수 있을까?
[그림] 오차를 어떻게 하면 줄일 수 있을까?
- dr의 크기는 우리가 맘대로 지정할 수 있다. 때문에 이 dr의 크기를 점점 작게 줄이면 줄일 수록
- 검정색 오차영역은 점점 작아지고, 이 dr을 0에 가깝게 줄이면 거의 완벽한 삼각형의 모습이 된다.
- 이를 그냥 삼각형이라고 생각하고 계산하면 삼각형의 넓이는 $Pi \times r^2$이 된다!
- 우리는 결국 원의 넓이 공식을 외우지않고 직관만으로 원의 넓이를 정확하게 계산해낸 것이다.
5. "원의 넓이 직접 구해보기"가 가지는 의의
- 결과적으로 보면 우리는 원의 넓이를 적분공식 없이 직관만으로 정적분한것이다.
- 이렇게 커다란문제를 거의 0에 가깝게 작게 쪼갠뒤 합쳐서 풀수 있는 문제에 미적분학을 적용할 수 있다
- 여기에서 주목할 점은 우리가 크기를 0에 가깝게 줄인 dr은 링에 포함된 요소일 뿐만 아니라
- 전체 반지름 r을 나눠서 각각 요소에 일정한 (동일한) 공간을 제공한다는 것이다.
- 또, 한가지 주목 할 것은 이 dr을 점점 작게 줄여나갈 수록 근사치가 점점 정확해져서 dr을 0에 가깝게
- 보내면 계산의 결과값은 우리가 생각한 정답에 매우 가깝게 근사된다는 것이다.
6. 한발 더 나아가서
- 우리는 원의 넓이를 구할 수 있고, 이 것을 활용해 미지의 함수 f(x) 아래의 넓이도 구할 수 있지만
- 한발 더 나아가서 자동차의 가속도도 구할 수 있다. 즉, 어려운 문제를 작게 쪼개 풀 수 있는 문제에 있어서,
- 미적분은 굉장히 폭넓게 활용된다. (넓이를 구하거나 기울기를 구하는데에 국한되지 않는다는 것이다)
- 중요한 것은 우리가 수학을, 특히 미적분학을 공부하면서 답을 꼭 한번에 구할 필요가 없다는 것이다.
- 큰 문제를 작게 쪼개고, 이들을 더해서 풀수 있는 문제라면 미적분이 이 문제를 쉽게 풀수 있도록 도와줄 것이다.
7. Reference