1. 이전 편에서 얻었던 직관을 활용해보자.
[그림] $x^2$ 아래영역의 넓이를 구하는 것에서 시작해보자.
- 만약, 우리가 $x^2$ 그래프의 넓이를 구한다고 생각해보자. 저번처럼 잘게 쪼개서 생각할 수 있다.
- 저번 처럼 마찬가지로 삼각형부분의 넓이는 생략하고 직사각형(노란색 영역)만 고려해보자.
- 지난번과 마찬가지로 dx를 무한히 줄이면, 이에 따른 오차는 거의 0에 가까워진다
- 먼저 x축의 밑변은 $dx$라고 놓고, 높이는 접점이기 때문에 $x^2$, 그리고 넓이는 $dA$라고 해보자.
- $dA$의 넓비는 밑변인 $dx$와 높이인 $x^2$를 곱한 $x^2dx$가 되고, $\frac{dA}{dx} = x^2$로 생각할 수 있다.
- 우리는 넓비를 표현하는 함수인 $A(x)$가 뭔지 모르지만, 우선 이 넓이함수 A의 특징을 알게 되었다.
2. 이게 도대체 무엇을 의미하는가?
[그림] 미분공식의 유도
- 여기에서 우리가 만약 $dx = 0.001$이라고 설정한다면, 노란색 영역 ($dA$)의 넓이는 3.001까지의 넓이에서
- 3.000까지의 넓이를 뺀 만큼의 영역이다. (0 to 3.001 - 0 to 3.000) 그렇게 되면, 위에서 찾아낸 특징처럼
- $\frac{dA}{dx} = \frac{A(3.001) - A(3)}{0.001} = x^2$라고 생각할 수 있을 것이다. 또한 이러한 성질은
- 모든 영역 (2 to 2.001 등)에서도 참이며, 비단 $x^2$그래프만 해당하는 것이 아니라 어떤 그래프 아래쪽
- 넓이로 정의된 어떤 함수라도 이러한 특성이 그대로 나타난다.
3. 도함수 (Derivative Function)
[그림] 도함수
- 바로 이 개념은 우리가 흔히 알고있는 Derivative Function. 즉, "도함수"이다.
- 도함수는 해당 영역의 넓이($dA$)를 밑변($dx$)으로 나누면 높이($f(x)$)가 된다는 것에서 기인하여
- 매우 쉽게 그 개념을 이해할 수 있다. 이 도함수 역시도 $dx$가 0에 점점 가까워질수록 오차가 줄어드는데,
- 우리가 $dA$의 영역을 노란색 박스의 직사각형 형태로 생각했기 때문이다 (실제로는 윗부분 녹색 삼각형도 포함)
- 그러나, $dx$가 점점 0에 가까워질 수록, A(x+h)와 A(x)의 차이는 점점 노란색 직사각형에 가까워지게 된다
- (녹색 삼각형은 dx가 작아지면 작아질수록 점점 더 작게 줄어들고 dx가 0에 가까워지면 거의 0에 가까워진다)
- 도함수가 가진 특성이나 의의는 꽤 길기 때문에 새로운 포스트로 적으려고 한다. 다음글을 따라 읽어보자.
4. Reference