1. 벡터란 무엇일까?
- 선형대수의 기본 조각은 벡터이다. 그래서 우리가 벡터가 무엇인지 아는 것이 굉장히 중요하다.
- 기본적으로 벡터를 생각하는 가장 일반적인 3가지 관점이 존재한다. 물리학, 컴퓨터과학, 수학이다.
- 물리학에게 벡터는 방향을 나타내는 물리량이다. 그들에게 벡터는 방향과 크기만 같으면 어디에 있던 같다.
- 컴퓨터과학에게 벡터는 순차리스트이다. 이들은 벡터를 이용하여 여러가지 데이터를 모델링한다.
- 수학에게 벡터는 이들 모두를 포함하는 개념으로 (벡터합, 스칼라곱)이라는 개념이 성립하면 벡터이다.
- (더 추가적인 조건 : 항등원, 역원 등 벡터가 될 수 있는 조건들이 있지만 저 두가지가 가장 중요하다)
2. 사실 이들은 모두 같다!
- 선형대수에서 벡터에 대해 이야기 할때, 원점에 꼬리를 둔 화살표를 하나 생각하는 것이 좋다.
- 물리학 관점에서는 꼬리의 위치가 어디로든 움직일 수 있지만, 선형대수에서는 거의 대부분 원점에 둔다.
- 원점에 두고, 그 벡터가 가리키는 그 지점(좌표)가 컴퓨터 사이언스 관점에서 리스트였던 것이다. (아하!)
- 이렇듯 컴퓨터 사이언스 관점의 벡터(숫자 리스트)와 물리학 관점의 벡터(화살표)는 사실 동일한 개념이다.
- 이 둘 사이(수치적, 기하학적)에 서로 번역될 수 있고, 이러한 과정에서 굉장히 중요한 특징들이 드러난다.
- 평범한 좌표(1, 2)와 벡터[1, 2]를 구분하기 위해 관례적으로 열벡터(세로 컬럼)로 표기하는 것이 일반적임.
- 리스트(CS관점)의 숫자 개수가 3개(삼중항)으로 늘어나면 공간(물리관점)에서는 3차원 공간으로 확장됨.
3. 벡터의 기본연산 : 벡터 합과 스칼라 곱
- 이제 가장 중요한 연산인 "벡터 합"과 "스칼라 곱"이라는 연산들에 대해 알아보자.
- 이 두 연산은 선형대수의 근간이 되는 뿌리이며, 벡터의 정의 그 자체라고 해도 무방하다.
1) 벡터 합 : 두 벡터를 이어 붙이기
- 벡터 합은 한 벡터의 꼬리를 다른벡터에 끝에 놓고 둘을 잇는 벡터를 그리는 것과 동일하다.
- 왜 이런지 생각해보면, 두 벡터를 차례로 따라가서 도착한 위치와 v+w 벡터의 끝 지점이 같기 때문이다.
- 수치적인 관점(컴퓨터사이언스 관점)에서는 [1, 2]와 [1, 2]는 어떻게 움직였던 상관 없이 같은 벡터이다.
- 때문에 두 벡터를 차례로 따라 이동한 벡터의 끝지점만 가리키는 벡터가 있다면, 그 벡터가 벡터의 합이다.
- 수치적으로 벡터 합을 연산하려면, 각 차원(자리)의 값들을 더해주면 그 것이 결과 벡터로 나오게 된다.
- 이는 매우 간단한 정의인데, X축으로 1만큼 가고 2만큼 가서, Y축으로 2만큼 올라갔다가 1만큼 내려 온
- 그 위치를 가리키는 벡터가 곧 두 벡터를 더한 벡터가 된다는 것이다.
2) 스칼라 곱 : 벡터를 상수배 만큼 늘리거나 줄이기
- 벡터의 스칼라 곱이라는 것은 벡터를 상수배만큼 늘리거나 줄이는 것을 의미한다.
- 이렇게 벡터를 늘리거나 줄인다는 의미에서 이런 과정을 Scaling(크기조정)이라고 하고,
- 크기를 얼만큼 조정할지에 대한 숫자를 Scaler(스케일러=>스칼라)라고 부른다.
- 그냥 수직선에서 이와 같은 연산을 한다고 봐도 이상할 것이 하나도 없다.
- 그러나 대신 수직선이 X축이 아니라 XY평면상에 존재한다고만 생각하면 된다.
- 스칼라 곱을 수치적으로 계산할 땐, 각 차원(자리)에 해당 스케일러(스칼라)를 곱해주면 된다.
- 위의 예시처럼 2 x [3, 1]이라면 [6, 2]가 되는 것과 같이 이해하면 된다.
- 앞으로 공부하겠지만, 선형대수는 이렇게 기본적으로 위 두가지 연산 사이에서만 도는 경향이 있다.
- 선형대수가 다루는 시스템은 바로 이전 글에서 이야기했던 선형성을 유지하는 시스템이기 때문이다.
- 곱해진 만큼만 변하고, 더해진 만큼만 변하는, 그 이상 or 이하로 변하지 않는 시스템을 다루기 때문이다.
4. Reference
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