0. Reference
1. Linear Algebra?
- 결론부터 말하자면 선형대수는 선형방정식을 풀기 위한 방법론들을 배우는 학문이다.
- 예를 들어 $2x + 3y = 0$와 같은 방정식이 있다면, 목표는 우항(0)과 같은 좌항들(x, y)를 찾는 것이다
- $3x + 1 = 7$과 같이, 방정식이 하나이고 미지수도 한개라면 우리는 이 x를 예측하기 매우 쉽다 (x=2)
- 그러나 $2x + 3y = 0$과 같이 식은 하나, 미지수는 두개라면 조건에 맞는 x, y를 찾는 것은 매우 어렵다.
- 우리의 직관으로 x=-3, y=2와 같은 값들의 집합을 찾아야하는데 이는 매우 비효율적이다.
- 그런데 방정식이 하나 더 있으면 두 방정식의 관계를 이용해 해를 찾아낼 수 있다. (선형대수의 목적)
2. What is the "Linear"?
- Linear(선형) Algebra(대수)에서 Linear(선형)이 갖는 의미는 대체 무엇일까?
- Linear라는 것은 어떤 시스템에 입력값에 영향 준만큼 결과도 딱 그 만큼만 영향을 받는 시스템이다.
- 즉, 그러니까 입력 자체는 바꾸지 않고, 입력에 무언가를 더하거나 곱해서 출력되는 시스템이다.
- 예를 들어 $y = 3x$ 혹은, $y = x +6$의 경우 3을 곱한만큼만, 6을 더한만큼만 값이 변한다.
- Non Linear한 경우를 보면, $y = 2 x^2$의 경우 2만큼 곱했는데, 그와 다르게 값이 크게 변한다.
- $x = 8$일때, $2x^2$은 갑자기 쌩뚱맞게 128이 된다. 2를 곱했는데 64배나 커져버린다. (Non Linear)
3. What is the "Algebra"?
- Algebra(대수)는 큰 수가 아니라 어떤 다른 것이 수를 대신한다는 것이다.
- 여기에서는 Linear(선형) 성질을 가지는 Eqation(방정식)이 수를 대신한다.
- 기본적으로 수라는 것의 본질은 연산에 있다고 할 수 있다.
- 원래 자연수, 정수와 같은 수로 연산을 하지만, 여기에서는 Linear Equation끼리 연산한다.
- Linear Equation에 다른 Linear Equation을 더하거나 한 Linear Equation을 늘린다.
- 후에 말하겠지만, 이 Linear Equation은 곧 Vector나 Matrix와 같은 개념으로 설명할 수 있는데,
- 이들의 정의에 대해서는 다음 포스트에 설명한다.
- 결과적으로, 선형대수는 선형성을 가지는 방정식(벡터)들의 연산을 통해 방정식의 해를 구하는 학문이다.