경우의 수 (1) - 경우의 수를 세는 기본 법칙

1. 왜 우리는 확률을 공부하며 Counting(경우의 수)를 고려해야 하는가?

1) 경우의수를 왜 세야할까?

• 많은 경우에 모든 가능한 사건의 확률이 동일하게 계산되는데 (동전, 주사위) 그런 경우에는
• 경우의수를 구하면 그 것이 바로 확률이 된다. (동전 : 2개 => 1/2, 주사위 6개 => 1/6)
• 즉, 각각의 근원 사건이 모두 동일한 확률을 가질때만(Uniform) 경우의수를 확률로서 사용할 수 있다
• 때문에 우리는 Uniform한 확률을 가지는 사건의 확률을 구할 때, 간단히 경우의 수만 세면 결과를 얻을 수 있다.

 

2) 근원사건이 같지 않은 경우의 수 예시

• 만약 같은 동전 2개를 던지면 {H, H}, {H, T}, {T, H}, {T, T}와 같이 4가지 사건이 발생하는데, 
• 두 동전이 동일하면 {T, H} = {H, T}이다 (두 동전은 구분이 되지 않는다)
• 때문에 해당 사건의 확률이 2배가 되고, 이런 경우에는 각 사건이 모든 같은 확률을 갖지 않기 때문에
• 경우의 수를 사용하면 안된다 (경우의 수는 3인데, 각각 확률은 1/4, 1/2, 1/4로 값이 다르게 나온다)
• 대표적으로 이런 사건의 예시에는 윷놀이가 있다. (도개걸윷모의 확률이 모두 다르다!)

 

2. 경우의 수를 세는 가장 기본적인 Basic Principle

• 두개의 실험 A, B를 진행할 때, A 경우의 수가 x가지, B의 경우의 수가 y가지가
• 나온다면 전체 경우의 수는 x * y가지가 되고, 이 것을 우리는 "곱의 법칙"이라고 한다.
• 단, 이 곱의 법칙은 두 실험이 연속적으로 (A가 일어나"고", B가 일어날 때) 일어날 때에 적용된다.
• Generalize하여, n개의 실험을 진행한다면, 경우의 수는 ∏(i=1 to n) ni이 된다.
• 반면에 A가 일어나"거나", B가 일어난다면 전체 경우의 수는 x + y가 되고, 합의 법칙이라고 한다.

 

3. Reference