불 대수 (1)

1. 논리회로의 표현

하나의 논리회로를 표현하는 방법은 디지털 시스템의 동작을 Boolean Algebra를 이용해 함수로서 표현함. 즉, 하나의 논리 회로를 하나의 함수로 표현하는 것이 가능함. Boolean Algebra의 3요소는 집합(Set), 연산(Operation), 공리(Axioms)이다. 

 

2. 함수의 표현

논리회로에서 함수는 3가지의 형태로 표현될 수 있는데 벤다이어그램, 진리표, 함수식이 그 종류이다. 하나의 함수에 대해서 벤다이어그램과 진리표는 1 : 1 형태로 오직 하나의 형태만 존재하는데, 수식의 경우는 하나의 함수에 대해 여러개의 함수식이 존재할 수 있다. 이 때 우리가 찾을 함수식은 가장 간단한 함수식을 찾는 것이다.

 

3. 집합 (Set)

Boolean Alebra에서의 집합에는 단 두가지의 원소 0과 1만이 포함될 수 있는데, 이 때 0과 1은 수로 이해하는 것보다 일종의 상태로서 이해하는 것이 좋음. 논리회로 설계에서는 이 0과 1이 Low Voltage(저전압), High Voltage(고전압)을 표현하기 위해 사용됨.

 

4. 연산 (Operation)

1) NOT : NOT 연산은 Inverter라고도 불림. 신호를 뒤집는 연산으로 회로도에서는 아래와 같이 표현됨.

[그림] NOT 게이트

 

위 그림에서 보면 삼각형 앞에 있는 동그라미를 버블(Bubble)이라고 부르며, 이 버블 자체가 NOT을 가리킨다고 봐도 무방하다. 버블을 삼각형의 앞에 위치시켜도 좋고 삼각형의 뒤에 위치시켜도 상관없다. 중요한 것은 버블을 거치면 신호가 뒤집힌다는 것이다.

 

[그림] NOT 게이트의 구현체

 

NOT 게이트의 내부 구현을 살펴보자. NOT 게이트의 내부는 PMOS와 NMOS를 이용하여 구현되어있다. 만약 0이 입력된다면 PMOS가 활성화되고, PMOS 내부의 정공들이 움직여서 전류가 흐른다. PMOS는 VDD와 연결되어 있어서 1을 반환하게 된다. 반대로 만약 1이 입력된다면 NMOS가 활성화되고 NMOS 내부의 전자들이 움직여서 전류가 흐른다. NMOS는 Ground와 연결되어 있어서 0을 반환하게 된다.

 

(1) 벤다이어그램 : 여집합

[그림] NOT 게이트의 벤다이어그램 (여집합)

 

(2) 진리표, 타이밍 다이어그램, 수식

[그림] NOT 게이트의 타이밍 다이어그램

 

2) AND : AND 연산은 곱연산이라고도 불리며, 회로도에서 게이트는 다음과 같이 표현된다.

[그림] AND 게이트

[그림] AND 게이트의 구현체

 

AND게이트는 다이오드, 트랜지스터, NMOS 등으로 다양하게 구현할 수 있다. 가장 중요한 것은 입력 A와 B가 직렬로 연결되어 있다는 것이다. 때문에 두 신호가 모두 1일 때만 출력이 1이고 아닐 경우에는 전류가 끊겨서 VDD로 연결되지 않고 0이 출력된다. 입력이 2개 이상일 때에도 마찬가지이다. 모든 입력으로부터 1이 입력되어야 직렬회로에 전류가 흘러서 VDD에 도달하여 1을 반환할 수 있다.

 

(1) 벤다이어그램 : 곱집합

[그림] AND 게이트의 벤다이어그램 (교집합)

 

(2) 진리표, 타이밍 다이어그램, 수식 

[그림] AND 게이트의 타이밍 다이어그램

 

3) OR : OR은 합 연산이라고 불리며 회로도에서 게이트는 다음과 같이 표현된다.

[그림] OR 게이트

[그림] OR 게이트의 구현체

 

OR 게이트 역시 다이오드, 트랜지스터, NMOS 등으로 다양하게 구현할 수 있다. 가장 중요한 것은 입력 A와 B가 병렬로 연결되어 있다는 것이다. 모든 신호 중 한가지 신호만 1이 되어도 전류가 흘러서 VDD에 도달하고 1을 반환한다. 0을 반환할 때는 모든 신호가 0일때 뿐이다.

 

(1) 벤다이어그램 : 합집합

[그림] OR 게이트의 벤다이어그램 (합집합)

 

(2) 진리표, 타이밍다이어그램, 수식

[그림] OR게이트의 타이밍 다이어그램

 

5. Reference