조건부 확률

1. Conditional Probability (조건부 확률)

조건부 확률은 어떤 사건 $A$가 일어나는 경우에 사건 $B$가 일어날 확률을 말한다. 이를 수학적 표기법으로 $P(B|A)$와 같이 표현한다. 따라서 사건 $A$가 발생했을 때, 사건 $B$가 일어날 확률은 사건 $A$의 영향을 받아 변하게 된다. 그렇다면 교집합인 $P(A \cap B)$와 무엇이 다를까? 아래 그림을 보면 알 수 있다. 

 

[그림] 곱사건의 확률과 조건부확률 

 

곱사건의 확률(교집합)은 전체 표본공간 $S$ 중에서 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률을 의미한다. 따라서 $P(S)$로 $P(A \cap B)$를 나눠주면 구할 수 있다. 그러나 조건부확률은 다르다. 조건부 확률은 사건 $A$가 일어날때, 사건$B$가 일어날 확률이므로, 전체 표본공간 $S$가 아니라 사건$A$가 새로운 전사건이 되는 것이다. 예시를 하나 보자.

 

2. Example

1 ~ 20까지 숫자가 적힌 카드뭉치에서 카드 한장을 뽑을 때, 2의 배수가 나왔을 때 3의 배수가 나올 확률을 구해보자. 이것은 대표적인 조건부확률 문제이다. 가장 먼저 2의 배수가 나올 사건을 사건 $B$라고 놓자. 그렇다면 $B$는 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 이고, B는 근원사건이 일어날 경우가 같으므로 라플라스의 정의에 의해 $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$이다. 그리고 3의 배수가 나올 확률을 사건 $A$라고 놓으면 $A$는 {3, 6, 9, 12, 15, 18}이고, 마찬가지로 $P(A)$도 근원사건이 일어날 경우가 같으므로 $P(A) = \frac{n(A)}{n{S}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ 로 계산할 수 있다.

 

조건부 확률의 공식은 $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$ 이기 때문에, 조건부확률은 $\frac{\frac{3}{20}} {\frac{10}{20}} = \frac{3}{10}$ 이다. 즉, 전체 사건이 표본공간이 아니라, 특정 사건으로 변하는 것이 조건부 확률이라고 할 수 있다.